磁偏轉問題例析

　　近年來，磁偏轉問題成為高考的考查熱點，如1998年高考的第23題，1999年高考的全國卷及廣東卷的壓軸題．此類習題具有思維難度大、與幾何知識聯系多（空間圖形）、有周期性、易形成多解等特點，常會使一些學生“望題興嘆”．教師在復習此類問題時要精心選題，加強解法指導．本文向大家介紹一道有關磁偏轉內容的好題，以供參考．

　　?題目：如圖1，Ｌ1和Ｌ2為兩平行的虛線，Ｌ1上方和Ｌ2下方都是垂直紙面向里的磁感強度相同的勻強磁場，Ａ、Ｂ兩點都在Ｌ2上．帶電粒子從Ａ點以初速ｖ與Ｌ2成30°角斜向上射出，經過偏轉后正好過Ｂ點，經過Ｂ點時速度方向也斜向上．不計重力，下列說法中正確的是：

　　圖1

　　??Ａ．帶電粒子經過Ｂ點時速度一定跟在Ａ點時速度相同

　　??Ｂ．若將帶電粒子在Ａ點時的初速度變大（方向不變），它仍能經過Ｂ點

　　??Ｃ．若將帶電粒子在Ａ點時初速度的方向改為與Ｌ2成60°角斜向上，它就不一定經過Ｂ點

　　??Ｄ．此粒子一定帶正電荷

　　?此題的新穎之處是：帶電粒子在磁場中的偏轉構成殘缺圓；在無磁場區軌跡得到“放大”；同時又變換初始條件，考查了由于初始條件的變化對運動結果的影響．思維能力要求高，物理情景富有變化，很有典型性和啟發性．下面就本題展示的物理情景做詳盡分析．

　　?在以下的討論中，假定粒子帶正電荷．

　　?1．粒子恰能過Ｂ點的條件

　　?如圖2所示，粒子進入勻強磁場后做勻速圓周運動，半徑為ｒ＝ｍｖ／ｑＢ．設粒子由Ｃ點進入上部勻強磁場，從Ｄ點飛出；由Ｅ點進入下部勻強磁場，正好經過Ｂ點射出，且Ｅ點在Ａ點的右方．

　　圖2

　　?在圖2中容易證明：∠ＣＯＤ＝60°，△ＯＣＤ為等邊三角形，ＣＤ＝ｒ．

　　?連結ＢＣ，則△ＡＢＣ為等腰三角形，底角為30°，所以Ｂ點應滿足的條件為：

　　??＝2·＝2ｄｃｔｇ30°＝2ｄ．①

　　?以上討論的是粒子經過一圈（上下兩部分圓弧構成一個完整的圓）到達Ｂ點的情況．粒子也可經過ｎ圈再到達Ｂ點，這時可把圖2中第1圈結束時的Ｂ點作為新的出發點，依此類推，即得

　　??＝2·ｎｄ，ｎ＝1，2，3……．

　　?應該指出，由于Ｌ1和Ｌ2的間距ｄ的不確定性，粒子飛入下部磁場的Ｅ點相對于射出點Ａ的位置會有不同．可有下述三種情形：

　　?（1）Ｅ點在Ａ點的右側，對應于ｄ較大時，如圖2所示；

　　?（2）Ｅ點與Ａ點重合，對應于ｄ較小時；

　　?（3）Ｅ點在Ａ點的左側，對應于ｄ更小時．

　　?從圖2中可以看出，若將下部磁場的邊界Ｌ2上移，即減小ｄ，就可得到（2）、（3）兩種情形．當Ｌ2過Ｍ點時，即表示Ｅ點與Ａ點重合的情形；當Ｌ2再向上移，至Ｍ點上方，即表示Ｅ點在Ａ點左側的情形．

　　圖3

　　?圖3給出了Ｅ點在Ａ點左側的情形．圖中＝，所以ＢＣＤＥ為平行四邊形，△ＡＢＣ則為等腰三角形．由此仍可得到

　　??＝2ｄｃｔｇα．

　　?同理可證，當Ｅ點與Ａ點重合時，仍有＝2ｄｃｔｇα．

　　?由上述討論可知，不論在何種情況下，粒子恰能過Ｂ點的條件（通式）為．

　　??＝ｎ·2ｄ，ｎ＝1，2，3……．②

　　?2．粒子的速度增大而方向不變時，能否經過Ｂ點

　　?在①式中，距離ＡＢ僅與粒子在Ａ點射出時的角度α、間距ｄ有關，與速率ｖ無關，所以ｖ變化時不變，即粒子仍可經過Ｂ點．

　　?3．入射角變為60°時，粒子能否經過Ｂ點

　　?由＝2ｄｃｔｇα可知，當ｄ一定，α增大時，ｃｔｇα減小，距離減小．當滿足／＝ｃｔｇα／ｃｔｇα′＝整數ｋ（ｋ＞1）時，粒子仍能經過Ｂ點，但粒子旋轉的圈數是原來的ｋ倍．

　　?當／＝ｃｔｇα／ｃｔｇα′≠整數ｋ時，粒子一定不經過Ｂ點．

　　?上式中，為粒子的入射角變為α′時，粒子旋轉一周后再次從邊界Ｌ2上射出的點到Ａ點的距離．

　　?當α′＝60°時，距離＝2ｄｃｔｇ60°＝2ｄ／3，則＝3·，顯然粒子要轉3圈方可達到Ｂ點．

　　?在一般情況下，α＝30°時粒子若經ｎ圈到達Ｂ點，則在α′＝60°時，粒子需經3ｎ圈才能到達Ｂ點．

　　?4．粒子帶負電荷的情形

　　若粒子帶負電荷，粒子的運動軌跡如圖4所示．在圖4中仍可證明＝2ｄｃｔｇα，于是下述結論仍然成立：

　　圖4

　　?（1）粒子速度ｖ大小變化而方向不變時，仍可經過Ｂ點．

　　?（2）粒子速度大小不變而方向變為60°時，粒子仍可經過Ｂ點．

　　?綜上所述，本題的正確答案應為Ａ、Ｂ．

　　?此題物理情景較為復雜，具有多種可能情況，不經認真全面的分析很難做出正確的判斷．若改為計算題，似乎更為合理．

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