淺議布朗運動的難點施教

　　我市1999年“精品課大獎賽”選擇了“分子熱運動”這節課作為主講內容．競賽中，在講授關于布朗運動“懸浮顆粒越小，布朗運動越明顯，懸浮顆粒越大，布朗運動越不明顯以至觀察不到”這一特點的原因時，參賽者的處理頗有不同．一種說法認為：懸浮顆粒受到液體分子的撞擊作用是不平衡的，顆粒越小，質量越小，慣性越小，運動狀態越容易改變，布朗運動明顯．反之，顆粒越大，布朗運動越不明顯．另一種說法認為：液體分子對懸浮顆粒的碰撞是不平衡的，顆粒越小，周圍與其頻繁碰撞的液體分子數目就越少，不平衡性越明顯，布朗運動越顯著．反之，顆粒越大，周圍與其不斷碰撞的液體分子較多，撞擊作用的不平衡性就不明顯，趨于平衡，布朗運動就越不明顯．前一種說法強調通過顆粒質量的大小對運動狀態的影響大小來解釋布朗運動的上述特點；后一種說法試圖通過顆粒周圍與其碰撞的液體分子數目對其撞擊不平衡性的影響說明問題．哪一種說法更為科學準確呢？

　　?布朗運動是一種漲落現象（漲落是指對所研究的某一宏觀物理量進行測量時，每一次測得的實際值與平均值的偏差）．布朗顆粒受周圍液體分子頻繁、雜亂無章的碰撞每秒達1021次，我們只能觀察其宏觀短時間內的平均運動．若顆粒直徑較大，由于液體分子向各個方向運動的幾率相等，所以周圍液體分子在任何瞬間對顆粒的撞擊作用幾乎是平衡的．但當顆粒直徑為10－4ｃｍ時，任一瞬時顆粒所受少量分子碰撞的合力不再等于零，而是漲落不定．合力的大小和方向不斷變化，于是顆粒就不停地做無規則（布朗）運動，布朗運動就很明顯．

　　?我們也可用朗之萬法證明布朗顆粒位移的散差（表示漲落值）．設布朗顆粒質量為ｍ，受到的力可理解為，一是流體所施的粘滯阻力－ａｖ（ａ為阻力系數，ｖ為顆粒運動速度）；二是流體分子碰撞的凈余力．前者是布朗顆粒運動時受到來自前方液體分子的碰撞而受的阻礙作用；后者相當于布朗顆粒靜止時受到的分子碰撞的凈余力，它是漲落不定的，但Ｆ（ｔ）＝0．

　　?我們在水平面的ｘ方向討論布朗運動．重力和浮力可不考慮，則顆粒運動的方程為：

　　?ｍｄ2ｘ／ｄｔ2＝－ａｄｘ／ｄｔ＋Ｆｘ（ｔ），（朗之萬方程）①

　　?＋ｘＦ?ｘ（ｔ）．②

　　因

　　②式可寫成：（ｍ／2）（ｄ／ｄｔ）（ｄｘ2／ｄｔ）－ｍ＝

　　（ａ／2）（ｄｘ2／ｄｔ）＋ｘＦｘ（ｔ）．③

　　取平均：④

　　?因ｘＦｘ（ｔ）＝0，布朗顆粒與周圍液體處于熱平衡，從能量均分定理知：

　　?⑤

　　⑥

　　⑦

　　將⑦式代入⑥式得：Ｃ2＝2ｋＴ／ａ．

　　令ｔ＝0，ｄ／ｄｔ＝0，Ｃ1＝－2ｋＴ／ａ．

　　將Ｃ1、Ｃ2代入⑦，

　　＝（2ｍｋＴｅ－ａｔ／ｍ）／ａ2＋2ｋＴｔ／ａ＋Ｃ3．

　　令ａ／ｍ＝τ，因ｔ＝0，＝0，Ｃ3＝－2ｋＴτ2／ｍ，

　　所以＝2ｋＴτ2／ｍ［ｔ／τ－（1－ｅ－ｔ／τ）］．

　　?當ｔ>>τ時，相當于實際觀察到的布朗運動：＝2ｋＴτｔ／ｍ＝2ｋＴｔ／ａ．此式說明布朗顆粒位移平方的平均值和絕對溫度Ｔ、時間ｔ成正比，與阻力系數ａ成反比．阻力系數越小，在同樣情況下，位移平方的平均值變化越大，布朗運動越明顯．根據ａ的意義，它與運動的布朗顆粒所受的撞擊分子數有正向關系，布朗顆粒運動中受到的分子碰撞越少，ａ越小，布朗運動越明顯，反之則不明顯．

　　?綜上所述，在發生布朗運動時，引起布朗運動明顯與否的主要因素是其周圍與其頻繁撞擊的液體分子數目的多少，而不應過分強調顆粒的質量．我們在教學過程中，千萬不能因為第一種說法學生易于接受就只作簡單的說明，而應尊重科學，正確引導學生從統計觀點入手，對布朗運動的特點作出科學性的正確解釋．