阿諾德、巴頓、克勞德和丹尼斯都是股票經紀人，其中有一人是其余三人中某一人的父親。一天，他們在證券交易所購買股票的情況是：（l）阿諾德購買的都是每股3美元的股票，巴頓購買的都是每股4美元的股票，克勞德購買的都是每股6美元的股票，丹尼斯購買的都是每股8美元的股票。

　　（2）父親所購的股數最多，他花了72美元。

　　（3）兒子所購的股數最少，他花了24美元。

　　（4）這四個人買股票總共花了161美元。

　　在這四個人當中，誰是那位父親？誰是那位兒子？

　　（提示：根據（1）和（4）列出一個方程。依次假定某個人是那位父親或者是那位兒子，則這個人買了多少股？如果一個數是方程中五項中四項的因數，則它必定也是第五項的因數。)

 
　　答案

　　設

　　a為阿諾德所購的股數，

　　b為巴頓所購的股數，

　　c為克勞德所購的股數，

　　d為丹尼斯所購的股數。

　　于是，根據（1）和（4），就這四人購買股票總共所花的錢可寫出方程：

　　3a+4b+6c+8d=161。

　　假定阿諾德是那位父親，則根據（1）和（2），他買了24股；假定巴頓是那位兒子，則根據（1）和（3），他買了6股。如此等等，共有十二種可能，列表于下。

  父親（花了72美元） 兒子（花了24美元）
     
Ⅰ a=24 b=6
　　Ⅱ
a=24 c=4
　　Ⅲ
a=24 d=3
　　Ⅳ
b=18 a=8
　　Ⅴ
b=18 c=4
　　Ⅵ
b=18 d=3
　　Ⅶ
c=12 a=8
　　Ⅷ
c=12 b=6
　　Ⅸ
c=12 d=3
　　Ⅹ
d=9 a=8
　　Ⅺ
d=9 b=6
　　Ⅻ d=9 c=4

　　注意：（A）a、b、c、d都是正整數，（B）如果一個整數能整除一個具有五個項的方程中的四項，則它也一定能整除其中的第五項。

　　根據上述的（B），a不能等于24或8，因為161不能被2整除。如果d等于3則b不能等于18，如果b等于6則d不能等于9，因為161不能被3整除。因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。

　　如果d＝9，c＝4．則3a+4b=65.這樣，a或b要大于9，從而與（2）矛盾。如果c=12，b＝6則3a+8d=65。這樣，a或d要小于6,從而與（3）矛盾。因此，Ⅷ和Ⅻ被排除。

　　如果b＝18，c＝4．則3a+8d=65。3a必須是奇數，因為8d是偶數而65是奇數（偶數乘以任何整數總得偶數，偶數加上奇數總得奇數）。

　　于是，a必須是4和18之間的一個奇數（奇數乘以奇數總得奇數）。這里唯一能使d取整數的是a＝11。這意味著d=4，但這與（3）矛盾。因此，V被排除。

　　剩下唯一的可能是Ⅸ，因此，克勞德是那位父親，丹尼斯是那位兒子。

　　通過進一步分析，可以得出a、b、c、d的兩組可能值。由c=12，d=3，得3a+4b＝65。根據與前面同樣的推理，a必須是3和12之間的一個奇數。這里能使b取整數的只有a=7和a=11。于是得到這樣兩組可能的值：

a=7 a=11

b=11
b=8

c=12
c=12

d=3
d=3