高考數學總復習:奇偶性

　　函數的奇偶性

　　奇+奇=奇；        偶+偶=偶；      奇*奇=偶；     偶*偶=偶；

　　考點一、函數的奇偶性定義

　　（1）下面四個結論：①偶函數的圖象一定與y軸相交；②奇函數的圖象一定通過原點；③偶函數的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數又是偶函數的函數一定是f(x)=0，其中正確命題的個數是(       )

　　A．1　　 B．2            C．3　　　 D．4

　　解：偶函數的圖象關于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤;奇函數的圖象關于原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確;若y=f(x)既是奇函數，又是偶函數，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，故④錯誤，選A．

　　（2） ， 是定義在R上的函數， ，則" ， 均為偶函數"是" 為偶函數"的（    ）

　　A.充要條件 B.充分而不必要條件     C.必要而不充分條件  D.既不充分也不必要條件

　　解:∵f(x)、g(x)均為偶函數,∴f(－x)=f(x),g(－x)=g(x).∴h(－x)=f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)為偶函數.但若h(－x)=h(x),即f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x), 不一定f(－x)=f(x),g(－x)=g(x),

　　例f(x)=x2+x,g(x)=－x.

　　考點二、已知函數解析式，判斷或證明函數的奇偶性

　　2.判斷下列各函數的奇偶性：

　　(1)f(x)= .                      (2)    ;

　　解：（1）f(-x)=-(-x)?+2|-x|=-x?+2|x|，則f(x)=f(-x)，故函數是偶函數。

　　(2) 函數的定義域為R，

　　當 時，

　　當 時，

　　當 時，

　　綜上可知，對于任意的實數x，都有 ，所以函數 為奇函數。

　　(3)     ;    偶函數        （4） ；      奇函數

　　（5） ；      非奇非偶

　　（6） ； （7） ； (8) ；

　　解：（6）由 ，得定義域為 ，關于原點不對稱，∴ 為非奇非偶函數

　　（7）由 定義域為 ，∴  ，

　　∵     ∴ 為偶函數。

　　（8）定義域為R，

　　，∴ f(－x)=－f(x)，所以f(x)為奇函數。

　　考點三、抽象函數奇偶性的判定與證明

　　（1）已知函數 對一切 ，都有 ，判斷f(x)奇偶性。

　　解： 的定義域是 ，它關于原點對稱．在 中，

　　令 ，得 ，令 ，得 ，∴ ，

　　∴ ，即 ， ∴ 是奇函數．

　　考點四、利用奇偶性求解析式及值

　　（1）已知f(x)是奇函數，且當x<0時，f(x)= ，求f(1).

　　解：f(1)=-f(-1)=1.

　　(2)    已知f(x)和g(x)分別是偶函數和奇函數，且 ，求f(1)+g(1).

　　解：f(1)-g(-1)=3=f(1)+g(1)，又f(-1)-g(1)=1=f(1)-g(1)，則f(1)=2，g(1)=-1，故f(1)+g(1)=1。

　　（3）已知f(x)是奇函數，且當x>0時，f(x)=x|x-2|，求x<0時，f(x).

　　解：∵f(x)是奇函數，且當x>0時，f(x)=x|x-2|，∴當x<0時，f(x)＝- f(-x)＝- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.

　　（4）已知f(x)是R上的奇函數，且x∈(－∞，0)時，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).

　　解：∵f(x)為奇函數，∴f(0)=0.當x＞0時，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，∴f(x)=－xlg(2+x).∴

　　考點五、利用奇偶性求參數值

　　（1）設函數 為奇函數，求a的值。

　　解:  ∵f(1）=-f(-1) ∴a=－1.

　　（2）已知 是偶函數，定義域為 ，   求 a,b的值。

　　解：  ， 。

　　(3)已知 ，求 的值。

　　解：令 為奇函數，則g(x)=f(x)-1,故g(-x)=f(-x)-1,

　　即g（-lg2)+g(lg2)=0,則f(-lg2)-1+f(lg2)-1=0,故 =2.

　　考點六.奇偶性與比大小

　　（1）已知偶函數 在 上為減函數，比較 ， ， 的大小。

　　解： 偶函數 在 上為減函數， 在 上為增函數,又 ，  ，又 ， 。

　　（2）已知 為偶函數，比較 ，b= ,c=f(2m)大小。

　　解：a= ,c=f(0),由已知f(1)=f(-1),則m=0. ,畫圖得：c<a<b.

　　考點七.奇偶性與不等式

　　（1）若f(x)是偶函數，當x∈［0，+∞)時，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。

　　解：f(x)＜0的解集：｛x｜－1＜x＜1｝，∴f(x－1)＜0的解集為｛x｜0＜x＜2｝.

　　(2)    函數f(x)是偶函數，在［0，+∞)增，求f(2x－1)＜f( )的解集。

　　解：- <2x－1< ,則 。

　　(3)    函數f(x)是奇函數，在（0，+∞)增，且f(3)=0,求 的解集。

　　解：由已知:f(x)>0,則 。

　　（4）設f（x）=lg（ ）是奇函數，求使f（x）＜0的x的取值范圍。

　　解:∵f(0)=0得a=－1.∴f(x)= ，令f(x)＜0,由兩個單增函數則0＜ ＜1,∴x∈(－1,0).（5）設定義在[-2,2]上的偶函數 在區間[0,2] 上單調遞減，若 ，求實數 的取值范圍。

　　解：  又當 時， 是減函數

　　。

　　（6）已知f(x)為偶函數，在 單調遞增，且 ，求a的取值范圍。

　　解：由已知： ，即 ，由f(x)圖像得： ，即 。

　　（7）已知 ，求使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍。

　　解：f(x)為偶函數，當x>0時，f(x)單調遞增，則 ，故 。

　　（8）已知函數 是定義在R上的奇函數，若對任意t∈R,不等式f( -2t)+f(2 -k)<0恒成立，求實數k的取值范圍。

　　解：由f(x）為奇函數，則 f(0)=0,f(-1)=-f(1),得a=2， b=1 。

　　f(x)= ，令 ，則f(x)是遞減函數, f( -2t)+f(2 -k)<0等價于f( -2t)<-f(2 -k) ,所以 -2t>k-2  ，k<3 -2t=3 恒成立，則k<- 。

　　（9）已知 ，求不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集。

　　解：f(3x+1)-2+f(x)-2>0,令g(3x+1)+g(x)>0,即g（3x+1)>-g(x),

　　因g(x)= 為奇函數，且單調遞增，則g(3x+1)>g(-x),又單調遞增，則3x+1>-x,故 。