集合與簡單邏輯

　　1 易錯點:遺忘空集致誤

　　錯因分析:由于空集是任何非空集合的真子集,因此,對于集合B,就有B=A,φ≠B,B≠φ,三種情況,在解題中如果思維不夠縝密就有可能忽視了B≠φ這種情況,導致解題結果錯誤.尤其是在解含有參數的集合問題時,更要充分注意當參數在某個范圍內取值時所給的集合可能是空集這種情況.空集是一個特殊的集合,由于思維定式的原因,考生往往會在解題中遺忘了這個集合,導致解題錯誤或是解題不全面.

　　2 易錯點:忽視集合元素的三性致誤

　　錯因分析:集合中的元素具有確定性,無序性,互異性,集合元素的三性中互異性對解題的影響最大,特別是帶有字母參數的集合,實際上就隱含著對字母參數的一些要求.在解題時也可以先確定字母參數的范圍后,再具體解決問題.

　　3 易錯點:四種命題的結構不明致誤

　　錯因分析:如果原命題是“若 A則B”,則這個命題的逆命題是“若B則A”,否命題是“若┐A則┐B”,逆否命題是“若┐B則┐A”.

　　這里面有兩組等價的命題,即“原命題和它的逆否命題等價,否命題與逆命題等價”.在解答由一個命題寫出該命題的其他形式的命題時,一定要明確四種命題的結構以及它們之間的等價關系.

　　另外,在否定一個命題時,要注意全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題.如對“a,b都是偶數”的否定應該是“a,b不都是偶數”,而不應該是“a ,b都是奇數”.

　　4 易錯點:充分必要條件顛倒致誤

　　錯因分析:對于兩個條件A,B,如果A=>B成立,則A是B的充分條件,B是A的必要條件;如果B=>A成立,則A是B的必要條件,B是A的充分條件;如果A<=>B,則A,B互為充分必要條件.解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性,所以在解決這類問題時一定要根據充要條件的概念作出準確的判斷.

　　5 易錯點邏輯聯結詞理解不準致誤

　　錯因分析:在判斷含邏輯聯結詞的命題時很容易因為理解不準確而出現錯誤,在這里我們給出一些常用的判斷方法,希望對大家有所幫助:

　　p∨q真<=>p真或q真,

　　p∨q假<=>p假且q假(概括為一真即真);

　　p∧q真<=>p真且q真，

　　p∧q假<=>p假或q假(概括為一假即假);

　　┐p真<=>p假,┐p假<=>p真(概括為一真一假).

　　6 易錯點:求函數定義域忽視細節致誤

　　錯因分析:函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍,因此要求定義域就要根據函數解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來,列成不等式組,不等式組的解集就是該函數的定義域.

　　在求一般函數定義域時要注意下面幾點:

　　(1)分母不為0;

　　(2)偶次被開放式非負;

　　(3)真數大于0;

　　(4)0的0次冪沒有意義.

　　函數的定義域是非空的數集,在解決函數定義域時不要忘記了這點.對于復合函數,要注意外層函數的定義域是由內層函數的值域決定的.

　　7 易錯點:帶有絕對值的函數單調性判斷錯誤

　　錯因分析:帶有絕對值的函數實質上就是分段函數,對于分段函數的單調性,有兩種基本的判斷方法:

　　一是在各個段上根據函數的解析式所表示的函數的單調性求出單調區間,最后對各個段上的單調區間進行整合;

　　二是畫出這個分段函數的圖象,結合函數圖象,性質進行直觀的判斷.研究函數問題離不開函數圖象,函數圖象反應了函數的所有性質,在研究函數問題時要時時刻刻想到函數的圖象,學會從函數圖象上去分析問題,尋找解決問題的方案.

　　對于函數的幾個不同的單調遞增(減)區間,千萬記住不要使用并集,只要指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可.

　　8 易錯點:求函數奇偶性的常見錯誤

　　錯因分析:求函數奇偶性的常見錯誤有求錯函數定義域或是忽視函數定義域,對函數具有奇偶性的前提條件不清,對分段函數奇偶性判斷方法不當等

　　判斷函數的奇偶性,首先要考慮函數的定義域,一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域區間關于原點對稱,如果不具備這個條件,函數一定是非奇非偶的函數.

　　在定義域區間關于原點對稱的前提下,再根據奇偶函數的定義進行判斷,在用定義進行判斷時要注意自變量在定義域區間內的任意性.

　　9 易錯點:抽象函數中推理不嚴密致誤

　　錯因分析:很多抽象函數問題都是以抽象出某一類函數的共同“特征”而設計出來的,在解決問題時,可以通過類比這類函數中一些具體函數的性質去解決抽象函數的性質.

　　解答抽象函數問題要注意特殊賦值法的應用,通過特殊賦值可以找到函數的不變性質,這個不變性質往往是進一步解決問題的突破口.

　　抽象函數性質的證明是一種代數推理,和幾何推理證明一樣,要注意推理的嚴謹性,每一步推理都要有充分的條件,不可漏掉一些條件,更不要臆造條件,推理過程要層次分明,書寫規范.

　　10 易錯點:函數零點定理使用不當致誤

　　錯因分析:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也是方程f(c)=0的根,這個結論我們一般稱之為函數的零點定理.

　　函數的零點有“變號零點”和“不變號零點”,對于“不變號零點”,函數的零點定理是“無能為力”的,在解決函數的零點時要注意這個問題.

　　11 易錯點:混淆兩類切線致誤

　　錯因分析:曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線,這樣的切線只有一條;曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線,這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線,曲線的過一個點的切線可能不止一條.因此求解曲線的切線問題時,首先要區分是什么類型的切線.

　　12 易錯點:混淆導數與單調性的關系致誤

　　錯因分析:對于一個函數在某個區間上是增函數,如果認為函數的導函數在此區間上恒大于0,就會出錯.

　　研究函數的單調性與其導函數的關系時一定要注意:一個函數的導函數在某個區間上單調遞增(減)的充要條件是這個函數的導函數在此區間上恒大(小)于等于0,且導函數在此區間的任意子區間上都不恒為零.

　　13 易錯點:導數與極值關系不清致誤

　　錯因分析:在使用導數求函數極值時,很容易出現的錯誤就是求出使導函數等于0的點,而沒有對這些點左右兩側導函數的符號進行判斷,誤以為使導函數等于0的點就是函數的極值點.出現這些錯誤的原因是對導數與極值關系不清.可導函數在一個點處的導函數值為零只是這個函數在此點處取到極值的必要條件,在此提醒同學們在使用導數求函數極值時一定要注意對極值點進行檢驗.

　　14 易錯點:用錯基本公式致誤

　　錯因分析:等差數列的首項為a1,公差為d,則其通項公式an=a1+(n-1)d,前n項和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比數列的首項為a1,公比為q,則其通項公式an=a1pn-1,當公比q≠1時,前n項和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q),當公比q=1時,前n項和公式Sn=na1.在數列的基礎性試題中,等差數列,等比數列的這幾個公式是解題的根本,用錯了公式,解題就失去了方向.

　　15 易錯點: an,Sn關系不清致誤

　　錯因分析:在數列問題中,數列的通項an與其前n項和Sn之間存在關系：

　　這個關系是對任意數列都成立的,但要注意的是這個關系式是分段的,在n=1和n≥2時這個關系式具有完全不同的表現形式,這也是解題中經常出錯的一個地方.在使用這個關系式時要牢牢記住其“分段”的特點.

　　當題目中給出了數列{an}的an與Sn之間的關系時,這兩者之間可以進行相互轉換,知道了an的具體表達式可以通過數列求和的方法求出Sn,知道了Sn可以求出an,解題時要注意體會這種轉換的相互性.

　　16 易錯點:對等差,等比數列的性質理解錯誤

　　錯因分析:等差數列的前n項和在公差不為0時是關于n的常數項為0的二次函數.

　　一般地,有結論“若數列{an}的前N項和Sn=an2+bn+c(a,b，c∈R),則數列{an}為等差數列的充要條件是c=0”;在等差數列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差數列.

　　解決這類題目的一個基本出發點就是考慮問題要全面,把各種可能性都考慮進去,認為正確的命題給以證明,認為不正確的命題舉出反例予以駁斥.在等比數列中公比等于-1時是一個很特殊的情況,在解決有關問題時要注意這個特殊情況.

　　17 易錯點:數列中的最值錯誤

　　錯因分析:數列的通項公式,前n項和公式都是關于正整數的函數,要善于從函數的觀點認識和理解數列問題.

　　但是考生很容易忽視n為正整數的特點,或即使考慮了n為正整數,但對于n取何值時,能夠取到最值求解出錯.在關于正整數n的二次函數中其取最值的點要根據正整數距離二次函數的對稱軸遠近而定.

　　18 易錯點:錯位相減求和時項數處理不當致誤

　　錯因分析:錯位相減求和法的適用環境是:數列是由一個等差數列和一個等比數列對應項的乘積所組成的,求其前n項和.基本方法是設這個和式為Sn,在這個和式兩端同時乘以等比數列的公比得到另一個和式,這兩個和式錯一位相減,得到的和式要分三個部分:

　　(1)原來數列的第一項;

　　(2)一個等比數列的前(n-1)項的和;

　　(3)原來數列的第n項乘以公比后在作差時出現的.在用錯位相減法求數列的和時一定要注意處理好這三個部分,否則就會出錯.

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