第一編  集合與常用邏輯用語

　　1．3  簡單的邏輯聯結詞與量詞

　　一．要點集結

　　1．簡單的邏輯聯結詞

　　命題中的       、        、           叫做邏輯聯結詞．

　　2．全稱量詞與存在量詞

　　常見的全稱量詞有："任意一個"、"一切"、"每一個"、"任給"、"所有的"等．

　　常見的存在量詞有："存在一個"、"至少有一個"、"有些"、"有一個"等．

　　全稱量詞用符號"       "表示；存在量詞用符號"       "表示．

　　3．全稱命題與存在性命題

　　含有        量詞的命題叫全稱命題．含有      量詞的命題叫存在性命題．

　　4．含有一個量詞的命題的否定

　　全稱命題p: x M,p(x),其否定 p:                      ;

　　存在性命題p:  x M,p(x),其否定 p:                     .

　　二．考點探究

　　考點1.含有邏輯聯結詞的命題真假判定

　　例1.命題p:關于x的不等式x2＋2ax＋4＞0,對一切x∈R恒成立.q:函數f(x)＝(3－2a)x是增函數.若p或q為真,p且q為假,求實數a的取值范圍．

　　考點2.全稱命題與存在性命題的真假

　　例2.已知命題p:?x∈R,使2x2＋(a－1)x＋12≤0.若p是假命題,求實數a的取值范圍．

　　考點3.含有一個量詞的命題的否定

　　例3.寫出下列命題的否定,并判斷真假.

　　(1)p： x≥0,x2＞0;

　　(2)q：自然數的平方是正數；

　　(3)r：存在一個三角形,它的內角和大于180°;

　　(4)s：至少有一個實數x,使x3+2x2+3x+10=0.

　　三．疑點反思

　　1．對于邏輯用語"或"、"且"、"非"的理解,可以借助集合運算中的并集、交集、補集的概念.

　　2．要寫一個命題的否定,首先分清其是全稱命題還是存在性命題,再對照否定的結構去寫,并注意與否命題的差別.

　　3．判斷命題真假時要注意:全稱命題為真需證明,為假舉反例即可;存在性命題為真需舉反例,為假要證明.

　　四．熱點研習

　　一、填空題

　　1．命題"存在x0∈R,2x0≤0"的否定是________________________．

　　2．"△ABC中,若∠C＝90°,則∠A,∠B都是銳角"的否命題是____________________．

　　3．命題"?x∈R,x≤1或x2>4"的否定是__________________．

　　4．已知m、n是不同的直線,α、β是不重合的平面．命題p：若α∥β,m?α,n?β,則m∥n；命題q：若m⊥α,n⊥β,m∥n,則α∥β.下面的命題中,①p∨q；②p∧q；③p∨ p；④ p∧q.真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號)．

　　5．已知命題p：?x∈R,使sin x＝52；命題q：?x∈R,都有x2＋x＋1>0.給出下列結論：①命題"p∧q"是真命題；②命題"p∧ q"是假命題；③命題" p∨q"是真命題；④命題" p∨ q"是假命題．其中正確的是_______________________．

　　6．命題 的否定是"對所有正數 ",則命題 是                    .

　　7．設函數f(x)的定義域為R,有下列三個命題：

　　①若存在常數M,使得對任意x∈R,有f(x)≤M,則M是函數f(x)的最大值；

　　②若存在x0∈R,使得對任意的x∈R,且x≠x0,有f(x)<f(x0),則f(x0)是函數f(x)的最大值；

　　③若存在x0∈R,使得對任意的x∈R,有f(x)≤f(x0),則f(x0)是函數f(x)的最大值．

　　這些命題中,真命題的個數是________．

　　8．已知命題p：?x∈[1,2],x2－a≥0；命題q：?x∈R,x2＋2ax＋2－a＝0,若命題"p且q"是真命題,則實數a的取值范圍為__________．

　　二、解答題

　　9．寫出下列命題的否命題及命題的否定形式,并判斷真假：

　　(1)若m>0,則關于x的方程x2＋x－m＝0有實數根；

　　(2)若x、y都是奇數,則x＋y是奇數；

　　(3)若abc＝0,則a、b、c中至少有一個為零．

　　10．命題 方程 有兩個不等的正實數根,命題 方程 無實數根.若" 或 "為真命題,求 的取值范圍.

　　11．已知命題p：lg(x2－2x－2)≥0,命題q：|1－x2|<1.若p是真命題,q是假命題,求實數x的取值范圍．

　　12．已知命題p："?x∈[1,2],12x2－ln x－a≥0"與命題q："?x∈R,x2＋2ax－8－6a＝0"都是真命題,求實數a的取值范圍．