高考數學總復習：函數值域

　　考點一：圖像法

　　（1）求下列函數的值域：

　　（1）函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則定義域為________，值域為________．

　　解：函數y＝f(x)的定義域為[－6,0]∪[3,7)，值域為[0，＋∞)．

　　(2)若 有意義，y＝x2－6x＋7；

　　解：x－2≥0，即x≥2.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(3－3)2－2＝－2，∴其值域為[－2，＋∞)．

　　(3)y＝x2＋2x，x∈[-2,3]；    (4)  y＝x＋4x，x∈[1,5]；

　　解：(3)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函數y＝x2＋2x(x∈[-2,3])的值域為[-1,15]．

　　(4)由對號函數圖象得值域為：[4, ]。

　　（5） （零點分段法）；   解： ，值域： 。

　　考點二。換元法(y=一次函數+ ）

　　（1）y= ;

　　解：令 。

　　（2）y= ;

　　解：令 。

　　考點三：分離常數法

　　(1)分子=分母

　　解：由已知有  .由 ，得 .

　　∴ .∴函數 的值域為 .

　　(2）分子》分母       設 ，求函數 的最小值.

　　解  ∵ ，∴ .由已知有    .當且僅當 ，即 時，等號成立.∴當 時， 取得最小值 .

　　（3）分子《分母    設x>2,求函數 的值域.

　　解： = =

　　= = .故單調遞減，則值域為y (- .

　　考點四：復合函數法

　　(1)若函數f(x)的值域是12，3，求F(x)＝f(x)＋ 的值域。

　　解：令t＝f(x)，則12≤t≤3.易知函數g(t)＝t＋1t在區間12，1上是減函數，在[1,3]上是增函數．又因為g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103.可知函數F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域為2，103.

　　(2)y＝log3x＋logx3－1，x （1,3]

　　解：y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，則y＝t＋1t－1(t≠0)，

　　當x [1,3]時，t （0,1]，y≥2 t·1t－1＝1，當且僅當t＝1t即log3x＝1，x＝3時，等號成立；綜上所述，函數的值域是[1，＋∞).

　　（3）y= , x [-2,0]

　　解：設t=1-2x- ,得t [1,2]，所以y [-1,0).

　　(4)y= ,x [-1,1]

　　解：令 =t(t>0) ，y=-t?+4t ，t [ ,2],y [ ,4].

　　考點五。求參數

　　（1）若函數f(x)＝1x－1在區間[a，b]上的值域為13，1，則a＋b＝________.

　　解：∵由題意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.則f(x)＝1x－1在[a，b]上為減函數，

　　則f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.

　　（2)已知 有最小值，求a的取值范圍。

　　解：由已知令 有最小值，則只須 單調遞增，即a>1,又 >0恒成立,則 ，故 ；

　　（3）設函數  ①若a=0，則f(x)的最大值為__________；\

　　②若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是_________________。

　　解：（1） ,由圖象知：f(x)=f(-1)=2;

　　(2) 交于（-1,2）點，由分段函數圖象，當a,》-1,最大值在三次函數極值點處取，最大為2；當a<-1時，無最大值。故a<-1.

　　陜西省2018年高考數學總復習：專題二  函數值域

　　考點一：圖像法

　　（1）求下列函數的值域：

　　（1）函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則定義域為________，值域為________．

　　解：函數y＝f(x)的定義域為[－6,0]∪[3,7)，值域為[0，＋∞)．

　　(2)若 有意義，y＝x2－6x＋7；

　　解：x－2≥0，即x≥2.又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴ymin＝(3－3)2－2＝－2，∴其值域為[－2，＋∞)．

　　(3)y＝x2＋2x，x∈[-2,3]；    (4)  y＝x＋4x，x∈[1,5]；

　　解：(3)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函數y＝x2＋2x(x∈[-2,3])的值域為[-1,15]．

　　(4)由對號函數圖象得值域為：[4, ]。

　　（5） （零點分段法）；   解： ，值域： 。

　　考點二。換元法(y=一次函數+ ）

　　（1）y= ;

　　解：令 。

　　（2）y= ;

　　解：令 。

　　考點三：分離常數法

　　(1)分子=分母

　　解：由已知有  .由 ，得 .

　　∴ .∴函數 的值域為 .

　　(2）分子》分母       設 ，求函數 的最小值.

　　解  ∵ ，∴ .由已知有    .當且僅當 ，即 時，等號成立.∴當 時， 取得最小值 .

　　（3）分子《分母    設x>2,求函數 的值域.

　　解： = =

　　= = .故單調遞減，則值域為y (- .

　　考點四：復合函數法

　　(1)若函數f(x)的值域是12，3，求F(x)＝f(x)＋ 的值域。

　　解：令t＝f(x)，則12≤t≤3.易知函數g(t)＝t＋1t在區間12，1上是減函數，在[1,3]上是增函數．又因為g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103.可知函數F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域為2，103.

　　(2)y＝log3x＋logx3－1，x （1,3]

　　解：y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，則y＝t＋1t－1(t≠0)，

　　當x [1,3]時，t （0,1]，y≥2 t·1t－1＝1，當且僅當t＝1t即log3x＝1，x＝3時，等號成立；綜上所述，函數的值域是[1，＋∞).

　　（3）y= , x [-2,0]

　　解：設t=1-2x- ,得t [1,2]，所以y [-1,0).

　　(4)y= ,x [-1,1]

　　解：令 =t(t>0) ，y=-t?+4t ，t [ ,2],y [ ,4].

　　考點五。求參數

　　（1）若函數f(x)＝1x－1在區間[a，b]上的值域為13，1，則a＋b＝________.

　　解：∵由題意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.則f(x)＝1x－1在[a，b]上為減函數，

　　則f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.

　　（2)已知 有最小值，求a的取值范圍。

　　解：由已知令 有最小值，則只須 單調遞增，即a>1,又 >0恒成立,則 ，故 ；

　　（3）設函數  ①若a=0，則f(x)的最大值為__________；\

　　②若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是_________________。

　　解：（1） ,由圖象知：f(x)=f(-1)=2;

　　(2) 交于（-1,2）點，由分段函數圖象，當a,》-1,最大值在三次函數極值點處取，最大為2；當a<-1時，無最大值。故a<-1.