淺析滑輪組的省功原理

　　現有的中學物理教科書認為，利用滑輪組運輸或提升貨物，只能省力，但不能省功，中學物理教科書的上述結論對從事機械傳動設計工作的工程師影響極大，由于汽車、火車、輪船等運輸裝置和各種機械裝置在使用的過程中會頻繁地出現啟動、加速、減速、停止等各種運動，并在啟動、加速、減速、停止等各種運動過程中消耗大量的能量，完全需要在理論上說明怎樣設計或使用汽車、火車、輪船等運輸裝置的傳動系統，以使其處于最佳節能狀態，但中學物理教科書的上述結論使得機械工程師在從事機械傳動設計時，以及在指導人們使用運輸車輛和機械裝置時，往往忽略了滑輪組的段數或減速機的傳動比在各種狀態下與節能的關系，造成現有的許多運輸車輛和機械傳動裝置在運行過程中的能量消耗較高，輸送貨物數量較少。

　　下面通過分析兩個物理習題的方式說明利用滑輪組牽引物體，不僅可以省力，而且可以通過將更多的物體輸送至目的地的形式節約能源。

　　對于沿水平方向作牽引物體運動的滑輪組分析如下：

　　一個質量為m的物體Ｍ放置在水平面上，利用滑輪組通過繩子與物體Ｍ相連，繩子牽引物體Ｍ的段數為K，繩子的牽引力為F，利用動力裝置使物體Ｍ沿水平面由靜止狀態開始作加速運動，則由牛頓運動定律可知：

　　KF＝ma2（1）

　　式中a2為物體Ｍ的加速度，并且

　　a2＝a1/K（2）

　　式中a1為滑輪組輸入端繩子的加速度，解（1）、（2）式可得：

　　a1＝K2F/m（3）

　　使用滑輪組的目的是運輸或提升一定數量貨物到達目的地，每個從事具體勞動的人都希望多拉快跑，即省力、又迅速地完成工作。為了對比使用滑輪組與不使用滑輪組的區別，令滑輪組輸入端繩子的加速度在使用滑輪組與不使用滑輪組時都為a1值，在此狀態下動力裝置輸出的功率相等，設不使用滑輪組時（K＝1）動力裝置運輸的物體Ｍ質量為m′，使用滑輪組時動力裝置運輸的物體Ｍ質量為m，則有：

　　F/m′＝K2F/m（4）

　　化簡后可得：

　　m＝K2m′（5）

　　但使用滑輪組時動力裝置運輸物體Ｍ的距離是不使用滑輪組時的L/K，為了便于對比，分別令兩種狀態下的動力裝置工作K次，這樣一來，使用滑輪組的動力裝置就可將質量為K2m′的貨物輸送至L距離，不使用滑輪組的動力裝置則將質量為Km′的貨物都輸送L距離，此時通過對比可見，使用滑輪組時動力裝置運輸的物體Ｍ質量m為不使用滑輪組時動力裝置運輸的物體Ｍ質量m′的K倍。

　　當物體Ｍ的運動存在摩擦阻力f時，則式（1）變為

　　KF-f＝ma2（6）

　　其中f＝μmg，μ為摩擦系數。

　　解（2）、（6）式，并將f＝μmg帶入可得：

　　a1＝（K2F-Kμmg）/m（7）

　　同樣令滑輪組輸入端繩子的加速度在使用滑輪組與不使用滑輪組時都為a1值，在此狀態下動力裝置消耗的功率相等，設不使用滑輪組時（K＝1）動力裝置運輸的物體Ｍ質量為m′，使用滑輪組時動力裝置運輸的物體Ｍ質量為m，則有：

　　（F-μm′g）/m′＝（K2F-Kμmg）/m（8）

　　化簡后可得：

　　m＝K2Fm′/（F+Kμm′g-μm′g）（9）

　　同樣地，使用滑輪組時動力裝置運輸物體Ｍ的距離是不使用滑輪組時的L/K，為了便于對比，分別令兩種狀態下的動力裝置工作K次，這樣一來，使用滑輪組的動力裝置就可將質量為K2Fm′/（F+Kμm′g-μm′g）的貨物輸送至L距離，不使用滑輪組的動力裝置則將質量為Km′的貨物都輸送L距離，此時通過對比可見，使用滑輪組時動力裝置運輸的物體Ｍ質量m為不使用滑輪組時動力裝置提升的物體Ｍ質量m′的KF/（F+Kμm′g-μm′g）倍。也就是說，利用滑輪組牽引物體，在某些條件下使運輸車輛和機械傳動裝置不僅可以省力，而且可以通過將更多的物體輸送至目的地的形式節約能源。

　　由于汽車、火車、輪船等運輸裝置在使用的過程中會頻繁地出現啟動、加速、減速、停止等各種運動，并在啟動、加速、減速、停止等各種運動過程中消耗大量的能量，上述結論可以在理論上被用來指導和說明設計或使用汽車、火車、輪船等運輸裝置的傳動系統，以使其處于最佳節能狀態。例如，汽車、火車、輪船等運輸裝置在啟動、加速階段可以采用大傳動比的傳動系統，開足馬力全力沖刺，而不要采用傳動比小的傳動系統。

　　對于沿垂直方向作牽引物體運動的滑輪組或者是減速機分析如下：

　　一個質量為m的物體Ｍ懸掛在空中，利用滑輪組的輸出端通過繩子與物體Ｍ相連，繩子牽引物體Ｍ的段數為K，繩子的牽引力為F，利用動力裝置使物體Ｍ在空中由靜止狀態開始作向上的加速運動，則由牛頓運動定律可知：

　　KF-mg＝ma2（10）

　　式中a2為物體Ｍ的加速度，并且

　　a2＝a1/K（11）

　　式中a1為滑輪組輸入端繩子的加速度，解（11）、（12）式可得：

　　a1＝（K2F-Kmg）/m（12）

　　使用滑輪組的目的是運輸或提升一定數量貨物到達目的地，每個從事具體勞動的人都希望多拉快跑，即省力、又迅速地完成工作。為了對比使用滑輪組與不使用滑輪組的區別，令滑輪組輸入端繩子的加速度在使用滑輪組與不使用滑輪組時都為a1值，在此狀態下動力裝置輸出的功率相等，設不使用滑輪組時動力裝置運輸的物體Ｍ質量為m′，使用滑輪組時動力裝置運輸的物體Ｍ質量為m，則有：

　　（F-m′g）/m′＝（K2F-Kmg）/m（13）

　　化簡后可得：

　　m＝K2m′/［1+（K-1）m′g/F］（14）

　　但使用滑輪組時動力裝置提升物體Ｍ的高度是不使用滑輪組時的h/K，為了便于對比，分別令兩種狀態下的動力裝置工作K次，這樣一來，使用滑輪組的動力裝置就可將質量為K2m′/［1+（K-1）m′g/F］的貨物提升至h高度，不使用滑輪組的動力裝置則將質量為Km′的貨物都提升至h高度，此時通過對比可見，使用滑輪組時動力裝置提升的物體Ｍ質量m為不使用滑輪組時動力裝置提升的物體Ｍ質量m′的K/［1+（K-1）m′g/F］倍。

　　當物體Ｍ的運動存在摩擦阻力f時，則式（11）變為

　　KF-mg-f＝ma2（15）

　　其中f＝μmg，μ為摩擦系數。

　　解（12）、（16）式，并將f＝μmg帶入可得：

　　a1＝（K2F-Kmg-Kμmg）/m（16）

　　同樣令滑輪組輸入端繩子的加速度在使用滑輪組與不使用滑輪組時都為a1值，在此狀態下動力裝置輸出的功率相等，設不使用滑輪組時動力裝置提升的物體Ｍ質量為m′，使用滑輪組時動力裝置提升的物體Ｍ質量為m，則有：

　　（F-m′g-μm′g）/m′＝（K2F-Kmg-Kμmg）/m（17）

　　化簡后可得：

　　m＝K2Fm′/（F+Km′g+Kμm′g-m′g-μm′g）（18）

　　同樣地，使用滑輪組時動力裝置提升物體Ｍ的高度是不使用滑輪組時的h/K，為了便于對比，分別令兩種狀態下的動力裝置工作K次，這樣一來，使用滑輪組的動力裝置就可將質量為K2Fm′/（F+Km′g+Kμm′g-m′g-μm′g）的貨物提升至h距離，不使用滑輪組的動力裝置則將質量為Km′的貨物都提升h高度，此時通過對比可見，使用滑輪組時動力裝置提升的物體Ｍ質量m為不使用滑輪組時動力裝置提升的物體Ｍ質量m′的KF/（F+Km′g+Kμm′g-m′g-μm′g）倍。也就是說，利用滑輪組或減速機提升物體，在某些條件下使運輸車輛和機械傳動裝置不僅可以省力，而且可以通過將更多的物體提升至目的地的形式節約能源。

　　由于上分析可知，對于電梯、吊車等各種縱向運輸裝置，在啟動、加速階段可以采用大傳動比的傳動系統，而不要采用傳動比小的傳動系統。

　　通過以上分析可知，令動力裝置通過滑輪組或減速機對物體進行輸送，無論是沿水平方向，還是沿垂直方向，都能夠在消耗一定能量的條件下，將更多的貨物輸送到目的地。

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