第一章  集合與常用邏輯用語

　　1．2  四種命題與充要條件

　　一．要點集結

　　1．命題

　　可以判斷            的語句叫做命題,其中            的語句叫做真命題,               的語句叫做假命題．

　　2．四種命題及其關系

　　兩個命題互為逆否命題,

　　它們具有         的真假性.

　　3．充分條件與必要條件

　　(1)如果p?q,則p是q的            ,q是p的             .

　　(2)如果p?q,q?p,則p是q的           ．

　　二．考點探究

　　考點1.命題的關系及其真假的判斷

　　例1.有下列命題:①奇函數的圖象關于原點對稱;②關于y軸對稱的圖象是偶函數的圖象;③若方程mx2-x+1=0無實根,則m>0;④在△ABC中,若cos2A=cos2B,則A=B;⑤若x+y 3,則x 1或y 2.其中正確命題的序號是            .

　　考點2.充分條件與必要條件的判定

　　例2.已知p:{x|x+2 0x-10 0},q:{x|1-m x 1+m,m>0}.

　　(1)    若m=1,則p是q的什么條件?

　　(2)    若p是q的充分不必要條件,求實數m的取值范圍.

　　考點3.充要條件的證明

　　例3.已知函數f(x)是(－∞,＋∞)上的增函數,a、b R,求證:f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)的充要條件是a＋b≥0.

　　三．疑點反思

　　1.分清命題的條件與結論是什么,這對判斷一個命題的真假、四種命題的關系以及充要條件都是極為重要的.

　　2.注意否命題與命題的否定的區別.

　　3.在命題真假判斷、充要條件的判斷過程中,如果直接判斷不易進行,可考慮通過其逆否命題的真假來判斷.

　　4.充要條件的證明要注意從兩個方面來證明,即充分性和必要性.如果是證明"不必要"或"不充分",只需要舉出反例即可.

　　四．熱點研習

　　一、填空題

　　1．若非空集合A、B、C滿足A∪B＝C,且B不是A的子集,則下列說法中正確的是________(填序號)．①"x∈C"是"x∈A"的充分條件但不是必要條件②"x∈C"是"x∈A"的必要條件但不是充分條件③"x∈C"是"x∈A"的充要條件④"x∈C"既不是"x∈A"的充分條件也不是"x∈A"的必要條件

　　2．命題"若一個數是負數,則它的平方是正數"的逆命題是________________．

　　3．命題"若a>b,則ac2>bc2 (a,b∈R)"與它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數為________個．

　　4．設x∈R,則"x＝1"是"x3＝x"的____________條件．

　　5．已知命題p：關于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關于x的函數y＝2x2＋ax＋4在[3,＋∞)上是增函數．若p或q是真命題,p且q是假命題,則實數a的取值范圍是______________．

　　6．"a＋c>b＋d"是"a>b且c>d"的____________條件．

　　7．設f(x)＝x3＋log3(x＋x2＋1),則對任意實數a、b,"a＋b≥0"是"f(a)＋f(b)≥0"的__________條件．

　　8．已知命題p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命題q：只有一個實數x滿足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命題"p或q"是假命題,則a的取值范圍是______________________.

　　二、解答題

　　9．分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷真假．

　　(1)當c<0時,若ac>bc,則a<b；   (2)若ab＝0,則a＝0或b＝0.

　　10．已知a>0,a≠1,設p：函數y＝loga(x＋1)在(0,＋∞)上單調遞減；q：曲線y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸交于不同的兩點．如果p且q為假命題,p或q為真命題,求a的取值范圍．

　　11．已知m∈R,設p：不等式|m2－5m－3|≥3；q：函數f(x)＝x3＋mx2＋(m＋43)x＋6在(－∞,＋∞)上有極值．求使p且q為真命題的m的取值范圍．

　　12．求證：  ≥0恒成立的充要條件是 .